证明:证法一:连接CD、CF; ∵BC是直径, ∴∠CDB=90°,∠CFB=90°;(4分) 又∵AC与圆相切于C点,CB是圆的直径, ∴∠ACB=90°;(5分) 在Rt△ABC中,BC2=BD•BA,在Rt△EBC中,BC2=BF•BE;(7分) ∴BD•BA=BF•BE,即AB•BD=EB•BF.(8分)
证法二:连接CD、DF;(1分) ∵∠CBE=∠CBF=∠CDF,(2分) 又∵AC切⊙O于C,CB是半圆O的直径, ∴∠ACB=∠BDC=90°;(3分) ∴∠AEB=90°+∠CBE=90°+∠CDF=∠BDF;(4分) 又∵∠DBF=∠EBA(同角)(5分) ∴△DBF∽△EBA,(6分) ∴BD:EB=BF:AB,(7分) ∴AB•BD=EB•BF.(8分)
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