如图,直径为13的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.(1)求线段OA、

如图,直径为13的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.(1)求线段OA、

题型:不详难度:来源:
如图,直径为13的⊙O′经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点,线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+60=0的两根.
(1)求线段OA、OB的长;
(2)已知点C在劣弧OA上,连接BC交OA于D,当OC2=CD•CB时,求C点的坐标;
(3)在(2)问的条件下,在⊙O′上是否存在点P,使S△POD=S△ABD?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)连接AB,∵∠BOA=90°,
∴AB为直径,根与系数关系得OA+OB=-k,OA•OB=60;
根据勾股定理,得OA2+OB2=169,
即(OA+OB)2-2OA•OB=169,
解得k2=289,∴k=±17(正值舍去).
则有方程x2-17x+60=0,x=12,或5.
又OA>OB,
∴OA=12,OB=5.

(2)若OC2=CD•CB,则△OCB△DCO,
∴∠COD=∠CBO,
又∵∠COD=∠CBA,
∴∠CBO=∠CBA,
所以点C是弧OA的中点.
连接O′C交OA于点E,根据垂径定理的推论,得O′E⊥OA,
根据垂径定理,得OE=6,
根据勾股定理,得O′E=


O′O2-OE2
=


6.52-62
=2.5,
∴CE=6.5-2.5=4,
即C(6,-4).

(3)设直线BC的解析式是y=kx+b,





b=5
6k+b=-4

解得:





k=-
3
2
b=5

则直线BC的解析式是y=-
3
2
x+5,
令y=0,解得:x=
10
3

则OD=
10
3
,AD=12-
10
3
=
26
3

∴S△ABD=
1
2
×5×
26
3
=
65
3

若S△ABD=S△OBD,P到x轴的距离是h,
1
2
×
10
3
h=
65
3
,解得:h=13.
而⊙O′的直径是13,因而P不能在⊙O′上,
故P不存在.
举一反三
已知:如图,AB为⊙O的直径,C、D是半圆弧上的两点,E是AB上除O外的一点,AC与DE相交于F.①
AD
=
CD
,②DE⊥AB,③AF=DF.
(1)写出“以①②③中的任意两个为条件,推出第三个(结论)”的一个正确命题,并加以证明;
(2)“以①②③中的任意两个为条件,推出笫三个(结论)”可以组成多少个正确的命题?(不必说明理由)
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已知半径为2的⊙O中,弦AB=2


3
,则弦AB所对圆周角的度数______.
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如果⊙O半径为5cm,弦ABCD,且AB=8cm,CD=6cm,那么AB与CD之间的距离是______cm.
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已知⊙O的半径为r,那么,垂直平分半径的弦的长是(  )
A.


3
2
r
B.2


3
r
C.


3
r
D.4


3
r
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如图所示,一根水平放置的圆柱形输水管道横截面,其中有水部分水面宽0.8米,最深处水深0.2米,则此输水管道的直径是______.
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