以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.

以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.

题型:不详难度:来源:
以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.
答案
如图,设OA=a(定值),
过O作OB⊥PQ,OC⊥RS,B、C为垂足,
设OB=x,OC=y,0≤x≤a,(0≤y≤a),
且x2+y2=a2
所以PQ=2PB=2


1-x2

RS=2(


1-x2
+


1-y2
).
所以PQ+RS=2(


1-x2
-


1-y2
).
∴(PQ+RS)2=4(2-a2+2


1-a2+x2y2

而x2y2=x2(a2-x2)=-(x2-
a2
2
2+
a4
4

当x2=
a2
2
时,
(x2y2)最大值=
a4
4

此时PQ+RS=


4(2-a2+2-a2)

当x2=0或x2=a2时,(x2y2最小值=0,
此时(PQ+RS)最小值=2(1+


1-a2
).
举一反三
如图:⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有______个.
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如果⊙O的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O到弦AB的距离为______cm.
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如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,AB=10,∠COD=60°,求:
(1)弦CD的长;
(2)∠COE的度数;
(3)线段BE的长(结果用根号表示).
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如图,把正△ABC的外接圆对折,使点A落在弧BC的中点F上,若BC=5,则正△ABC的外接圆半径为______,折痕在△ABC内的部分DE长为______.
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如图,已知:在⊙O中,直径AB⊥CD,E为垂足,AE=4,CE=6,则⊙O的半径为______.
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