如图,已知AB是⊙O1的直径,点C是⊙O1上不同于A,B的一点,以线段AC为直径作⊙O2交AB于点D,过点D作DE∥BC,交⊙O2于点E,交AC于点F.求证:(

如图,已知AB是⊙O1的直径,点C是⊙O1上不同于A,B的一点,以线段AC为直径作⊙O2交AB于点D,过点D作DE∥BC,交⊙O2于点E,交AC于点F.求证:(

题型:不详难度:来源:
如图,已知AB是⊙O1的直径,点C是⊙O1上不同于A,B的一点,以线段AC为直径作⊙O2交AB于点D,过点D作DEBC,交⊙O2于点E,交AC于点F.求证:
(1)EC是⊙O1的切线;
(2)CE2=EF•BC.
答案
证明:(1)连接O1C,则∠O1CB=∠B,
∵DEBC,
∴∠EDA=∠B.
∵∠EDA=∠ECA,
∴∠ECA=∠O1CB.
∵AB是⊙O1的直径,
∴∠ACO1+∠O1CB=90°.
∵∠ECA=∠O1CB,
∴∠ACO1+∠ECA=90°.
∴EC是⊙O1的切线.

(2)连接CD,则∠CDA=∠CDB=90°,
∵DEBC,∠ACB=90°,
∴∠CFD=∠ACB=90°.
∵AC是⊙O2的直径,
∴AC垂直平分ED.
∴EF=FD,CE=CD.
∵∠FDC=∠DCB,∠CFD=∠BDC=90°,
∴△CFD△BDC.
CD
BC
=
FD
CD

∴CD2=FD•BC.
∵EF=FD,CE=CD,
∴CE2=EF•BC.
举一反三
已知:如图,BD为⊙O的直径,BC为弦,A为BC弧中点,AFBC交DB的延长线于点F,AD交BC于点E,AE=2,ED=4.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)求AB的长.
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如图,已知等腰△ABC,AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作⊙O交AB点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠A的值.
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如图,从⊙O外一点P引圆的切线PA和PB,切点分别是A和B,如果∠APB=70°,那么这两条切线所夹劣弧AB的度数是(  )
A.110°B.70°C.55°D.35°

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如图,四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形,其周长为20,则梯形ABCD的中位线长为______.
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(q0fq•张家口一模)如4:⊙O与AB相切于点A,BO与⊙O交于点6,∠BA6=手0°,则∠B等于(  )
A.20°B.50°C.30°D.60°

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