如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=123cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以23cm/s的速度向

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12

3

cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2

3

cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
（1）求∠OAB的度数．
（2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
（4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．

答案

（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=

OB

OA

=

12

12 3

=

3

3

，
∴∠OAB=30°．

（2）如图，连接O′P，O′M．
当PM与⊙O′相切时，有：
∠PMO′=∠POO′=90°，
△PMO′≌△POO′．
由（1）知∠OBA=60°，
∵O′M=O′B，
∴△O′BM是等边三角形，
∴∠BO′M=60°．
可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
∴OP=OO′•tan∠OO′P
=6×tan60°=6

3

．
又∵OP=2

3

t，
∴2

3

t=6

3

，t=3．
即：t=3时，PM与⊙O‘相切．

（3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=

1

2

AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×

3

2

=2

3

t．
∴OE=OA-AE=12

3

-2

3

t．
∴Q点的坐标为（12

3

-2

3

t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=

1

2

•12•12

3

-

1

2

•2

3

t•(12-2t)-

1

2

(12

3

-2

3

t)•2t-

1

2

•2t(12

3

-2

3

t)
=6

3

t2-36

3

t+72

3

=6

3

(t-3)2+18

3

． （0＜t＜6）
当t=3时，S_△PQR最小=18

3

；

（4）分三种情况：如图
①当AP=AQ₁=4t时，
∵OP+AP=12

3

，
∴2

3

t+4t=12

3

．
∴t=

6 3

3 +2

，
或化简为t=12

3

-18；
②当PQ₂=AQ₂=4t时，
过Q₂点作Q₂E⊥x轴于点E．
∴PA=2AE=2AQ₂•cosA=4

3

t，
即2

3

t+4

3

t=12

3

，
∴t=2；
③当PA=PQ₃时，过点P作PH⊥AB于点H．
AH=PA•cos30°=（12

3

-2

3

t）•

3

2

=18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
综上所述，当t=2或t=3.6或t=12

3

-18时，△APQ是等腰三角形．