(1)证明:连接AB, ∵CA切⊙O"于A, ∴∠CAB=∠F. ∵∠CAB=∠E, ∴∠E=∠F. ∴AF∥CE. ∴=. ∴PA•PE=PC•PF.
(2)证明:∵=, ∴=. ∴=. 再根据切割线定理,得PA2=PB•PF, ∴=.
(3)连接AE,由(1)知△PEC∽△PFA, 而PC:CE:EP=3:4:5, ∴PA:FA:PF=3:4:5. 设PC=3x,CE=4x,EP=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y, ∴EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2. ∴∠C=∠CAF=90°. ∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O"的直径. ∵⊙O与⊙O"等圆, ∴AE=AF=4y. ∵AC2+CE2=AE2 ∴(3x+3y)2+(4x)2=(4y)2即25x2+18xy-7y2=0, ∴(25x-7y)(x+y)=0, ∴=. ∴S△ECP:S△FAP==. |