(1)连接OE、OF. ∵AD、AB与⊙O相切于E、F, ∴OE⊥AD,OF⊥AB ∵矩形ABCD中,∠A=90°, ∴四边形OEAF是矩形. ∵OE=OF, ∴四边形OEAF是正方形, ∴OE=OF=AE=,∠O=90°, ∴弧EF的长为:=;
(2)当MN和⊙O第一次相切时,设MN交AD于P,交BC于Q,连接OP,OE,过D作DG⊥MN于G. ∵MN∥PQ, ∴∠DMN=∠DPQ=60°, ∴∠APQ=120°. ∵PA和PQ与⊙O相切, ∴∠EPO=∠OPQ=60°. 在△OEP中,∠OEP=90°,∠EOP=30°,OE=, ∴EP=1,OP=2, ∴DP=AD-AE-EP=+5--1=4. 在△DPG中,∵∠DGP=90°,∠PDG=30°, ∴DG=PD•cos30°=2, ∴点D到直线MN的距离d为2;
(3)设点D到直线MN的距离为d. 由(2)知,当d=2时,直线MN与⊙O第一次相切, ∵⊙O的半径为,∴当d=4时,直线MN与⊙O第二次相切, 又∵2<4<4, ∴当d=4时,MN直线与⊙O相交.
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