已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.(1)求证:点D是AB的中点;(2)证明:DE是⊙O的切线.

已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.(1)求证:点D是AB的中点;(2)证明:DE是⊙O的切线.

题型:不详难度:来源:
已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC,垂足为点E.
(1)求证:点D是AB的中点;
(2)证明:DE是⊙O的切线.
答案
(1)证明:连接CD,
∵BC是圆的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
又∵AC=BC,
∴△ABC为等腰三角形,
∴AD=BD,即点D是AB的中点;

(2)证明:连接OD,则DO是△ABC的中位线,
∴DOAC,
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥DO,
∴DE是⊙O的切线.
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OEAB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,ED=4,EO的延长线交⊙O于F,连DF、AF,求△ADF的面积.
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如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,∠B=90°,AB=AD,∠BAD的平分线交BC于E,连接DE.
(1)说明点D在△ABE的外接圆上;
(2)若∠AED=∠CED,试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系,并说明理由.
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如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,以AB上一点O为圆心,AD为弦作⊙O.
(1)在图中作出⊙O;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:BC为⊙O的切线.
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如图(1)正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动到点M,点C),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线交AD于点F,切点为E.
(1)求四边形CDFP的周长;
(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)延长DC,FP相交于点G,连接OE并延长交直线DC于H〔如图(2)〕.问是否存在点P,使△EFO△EHG(其中△EFO顶点E、F、O与△EHG顶点E、H、G为对应点)?如果存在,试求(2)中x和y的值;如果不存在,请说明理由.
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如图,两个同心圆,大圆半径为5cm,小圆的半径为3cm,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦AB的取值范围是______.
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