(1)证明:∵∠D与∠C对同一弧, ∴∠D=∠C. ∵AC为直径, ∴∠ABC=90°. ∴∠C+∠BAC=90°. ∵∠BAP=∠BDA, ∴∠PAB+∠BAC=90°. 即∠PAC=90°. 故AP是圆的切线.
(2)添加弧BD=弧AB. ∵弧AB=弧BD, ∴∠D=∠BCD. ∵∠DBE=∠DBC, ∴△BDE∽△BDC. ∴BD:BC=BE:BD. 即BD2=BE•BC.
(3)∵AC是半圆的直径,OD⊥BC, ∴∠ABC=∠OHC=90°,OD∥AB. ∵OD⊥BC, ∴点D是弧BC的中点. ∴AD是∠BAC的平分线. ∴AB:BE=AC:CE. ∴AB:AB=BE:CE=2:4=1:2. ∴AC=2AB. ∵AC=2AO=2OD, ∴AB=OD. 即AB与OD平行且相等, ∴四边形ABDO是平行四边形. ∵AO=OD, ∴四边形ABDO是菱形. ∵sinC=AB:AC=1:2, ∴∠C=30°,OD=AB,AB=2,AC=4,AP=ACtan30°=4. ∵点O,H分别是AC,BC的中点, ∴OH=AB=,DH=OD-OH=. ∵PA是切线,PBC是割线, ∴PA2=PB•PC=PB(PB+BC). ∴PB=2. ∴PH=PB+BH=5. ∴tan∠DPC=DH:PH=. |