如图,在△ABC中,∠ABC=90°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.(1)若∠C=30°,求证:BE是△DEC外接圆的切线;(2)若B

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.(1)若∠C=30°,求证:BE是△DEC外接圆的切线;(2)若B

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如图,在△ABC中,∠ABC=90°,边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)若∠C=30°,求证:BE是△DEC外接圆的切线;
(2)若BE=


3
,BD=1,求△DEC外接圆的直径.
答案
(1)证明:∵DE垂直平分AC,
∴∠DEC=90°,AE=CE,
∴DC为△DEC外接圆的直径,
取DC的中点O,连结OE,如图,
∵∠ABC=90°,
∴BE为Rt△ABC斜边上的中线,
∴EB=EC,
∵∠C=30°,
∴∠EBC=30°,∠EOD=2∠C=60°,
∴∠BEO=90°,
∴OE⊥BE,
而OE为⊙O的半径,
∴BE是△DEC外接圆的切线;

(2)∵BE为Rt△ABC斜边上的中线,
∴AE=EC=BE=


3

∴AC=2


3

∵∠ECD=∠BCA,
∴Rt△CEDRt△CBA,
CE
CB
=
CD
CA

而CB=CD+BD=CD+1,


3
CD+1
=
CD
2


3

解得CD=2或CD=-3(舍去),
∴△DEC外接圆的直径为2.
举一反三
如图,AC是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,点B是⊙O上的一点,且∠BAC=30°,∠APB=60°.求证:PB是⊙O的切线.
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如图所示,⊙O的半径OD为5cm,直线l⊥OD,垂足为O,则直线l沿射线OD方向平移______cm时与⊙O相切.
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如图i,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧
BC
上的一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.
(1)求证:AP是半圆O的切线;
(2)当其它条件不变时,问添加一个什么条件后,有BD2=BE•BC成立?说明理由;
(3)如图ii,在满足(2)问的前提下,若OD⊥BC与H,BE=2,EC=4,连接PD,请探究四边形ABDO是什么特殊的四边形,并求tan∠DPC的值.
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已知:如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上,连接AP,MP,AM,AP与MN相交于点F.⊙O过点M,C,P.
(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)
AF
AN
AP
AD
是否相等?请你说明理由;
(3)随着点P的运动,若⊙O与AM相切于点M时,⊙O又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考)
题型:不详难度:| 查看答案
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=4


3
,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E是BC的中点,连接OD,OB,DE.
(1)求证:OD⊥DE;
(2)求sin∠ABO的值.
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