如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若，DF=2

题型：福建省中考真题难度：来源：

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F。
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，DF=2，求的长。

答案

解：（1）连结OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠2=90°，
∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD，
∴FD是圆O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AC=AB，
∴∠3=∠4，
∴，
∵，
∴，
∴∠B=2∠4，
∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∠C=60°，
在Rt△CFD中，sinC=，CD=，
∴DB=，AB=BC=，
∴AO=，
∴。