已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=AB；

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已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB。
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值。

答案

解：（1））∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线。
（2））∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC
∴BC=AB。

（3）连接MA，MB
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM
∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM
∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM²=MC·MN
∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°，AM=BM
∵AB=4
∴BM=
∴∴MC·MN=BM²=8。