如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2=AB·AD。

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D。
求证：（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC²=AB·AD。

答案

证明：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，
即∠AOC+∠ACO=90°，
∴∠ACD-∠AOC=0，
即∠AOC=2∠ACD；（2）如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACD与△RtABC中，
由（1）∠AOC=2∠ACD，
又∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
即AC²=AB·AD。