如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥CD； （2）若AD=2，AC=，求AB的长

题型：湖北省模拟题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长

答案

（1）证明：连结BC． 
∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCA=∠B． 
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．
∴∠ADC=∠ACB
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD
（2）解：∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB
∴
∴AC²=AD·AB.
∵AD=2，AC=
∴AB=