已知:如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,连结BD并延长,使CD=BD,连结AC。过点D作DE⊥AC,垂足是点E.过点B作BE⊥AB,交ED延长线于点F,连

已知:如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,连结BD并延长,使CD=BD,连结AC。过点D作DE⊥AC,垂足是点E.过点B作BE⊥AB,交ED延长线于点F,连

题型:上海期末题难度:来源:
已知:如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,连结BD并延长,使CD=BD,连结AC。过点D作DE⊥
AC,垂足是点E.过点B作BE⊥AB,交ED延长线于点F,连结OF。
求证:(1)EF是⊙O的切线;
           (2)△OBF∽△DEC。
答案
证明:(1)连结OD,
             ∵AB是⊙O的直径,
             ∴OA=OB,
             又∵CD=BD,
             ∴OD∥AC,
             ∵DE⊥AC,
             ∴∠DEC=90°,∠ODE=90°,
             ∵点D是⊙O上一点,
             ∴EF是⊙O的切线。
(2)∵BF⊥AB,AB是⊙O的直径,
         ∴BF是⊙O的切线,
         ∵EF是⊙O的切线,
         ∴∠BFO=∠DFO,FB=FD,
         ∴OF⊥BD,
         ∵∠FDB=∠CDE,
         ∴∠OFD=∠C,
         ∴∠C=∠OFB,
         又∵∠CED=∠FBO=90°,
         ∴△OBF∽△DEC。
举一反三
已知 l是⊙O的切线,⊙O的直径AB=10cm,那么点A、B到直线 l的距离之和为(          )cm。
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如图,AB是⊙O的直径,点P在AB的延长线上,弦CD⊥AB,连结OD、PC,∠ODC=∠P,求证:PC是
⊙O的切线。
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如果两个圆只有一个公共点,那么这两个圆的公切线条数是[     ]
A.1
B.2
C.3
D.1或3.
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如图,直角坐标系内的矩形ABCD中顶点A的坐标为(0,3),BC=2AB,P为AD边上一动点(与点A、D不重合),以点P为圆心作⊙P,与对角线AC相切于点F,过P、F作直线l,交BC边上于点E .当点P运动到点P1位置时,直线l恰好经过点B,此时直线的解析式是y=2x+1 .
(1)求BC、AP1的长;
(2)设AP=m,梯形PECD的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)以点E为圆心作⊙E,与x轴相切 .试探究并猜想⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系,并求出AP相应的取值范围.
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⊙O的半径为4,圆心O到直线I的距离为3,则直线I与⊙O的位置关系是 [     ]
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
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