已知:如图,C为半圆O上一点,AC=CE,过点C作直径AB的垂线CP,弦AE分别交PC、CB于点D、F.(1)求证:AD=CD;(2)若DF=433,∠CAE=

已知:如图,C为半圆O上一点,AC=CE,过点C作直径AB的垂线CP,弦AE分别交PC、CB于点D、F.(1)求证:AD=CD;(2)若DF=433,∠CAE=

题型:不详难度:来源:
已知:如图,C为半圆O上一点,AC=CE,过点C作直径AB的垂线CP,弦AE分别交PC、CB于点D、F.
(1)求证:AD=CD;
(2)若DF=
4
3


3
,∠CAE=30°,求阴影部分的面积.
答案
(1)证明:∵AC=CE,
∴弧AC=弧CE,
∴∠CAE=∠B.
∵CP⊥AB,
∴∠CPB=90°
∴∠B+∠BCP=90°.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACP+∠BCP=90°.
∴∠B=∠ACP.
∴∠CAE=∠ACP.(1分)
∴AD=CD.(2分)

(2)连接OC,
∵∠CAE=30°,
∴∠ACD=30°,∠COA=60°.
∴∠CDF=60°.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∴∠BCP=60°.
∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°.
∴AD=CD=DF=
4
3


3
.(3分)
∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.
∴∠CAO=60°.
∴∠DAP=30°.
∵CP⊥OA,
∴AP=ADcos30°=2.
∴OA=2AP=4.(4分)
∴DP=ADsin30°=
2
3


3

∴CP=CD+DP=2


3
.(5分)
∴S阴影=S扇形-S△AOC=
60×π×16
360
-
1
2
×4×2


3
=
3
-4


3
.(6分)
举一反三
如图,有一住宅小区呈三角形ABC形状,且周长为2 000m,现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪,则草坪的面积(精确到1)是(  )
A.6000m2B.6016m2C.6028m2D.6036m2

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有一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,上面有一个以AD为直径的半圆,正好与对边BC相切.如图(甲).将它沿DE折叠,使A点落在BC上,如图(乙),这时,半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是(  )
A.(π-2


3
)cm2
B.(
16
3
π-4


3
)cm2
C.(
1
2
π+


3
)cm2
D.(
2
3
π+


3
)cm2
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如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB、AC的夹角为150°,AB长为30cm,贴纸部分BD长为20cm,贴纸部分的面积为______.
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如图所示,是一个滑轮的起重装置,已知滑轮的半径为10cm,一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转,当重物上升5πm时,则半径OA转过的面积是(假设绳索与滑轮之间没有滑动)(  )
A.15πcm2B.20πcm2C.25πcm2D.30πcm2

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如图,用不同颜色的马赛克片覆盖一个圆形的台面,估计15°圆心角的扇形部分大约需要34片马赛克片.已知每箱装有125片马赛克片,那么应该购买多少箱马赛克片才能铺满整个台面(  )
A.5~6箱B.6~7箱C.7~8箱D.8~9箱

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