(1)四边形OBCD是菱形. 如图丙,∵AC⊥BD,AC是直径, ∴AC垂直平分BD. ∴BF=FD, | BC | = | CD | . ∴∠BAD=2∠BAC=60°, ∴∠BOD=120°. ∵BF=AB=2, 在Rt△ABF中, AF====6. 在Rt△BOF中, ∴OB2=BF2+OF2.即(2)2+(6-OB)2=OB2. 解得:OB=4. ∵OA=OB=4, ∴OF=AF-AO=6-4=2, ∵AC=2OA=8, ∴CF=AC-AF=8-6=2, ∴CF=OF, ∵BF=FD,AC⊥BD, ∴四边形OBCD是菱形;
(2)设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2πr. ∵扇形OBD的弧长=π•4=π, ∴2πr=π, 解得:r=;
(3)如图丁,连接OH. ∵∠A=22.5°, ∴∠BOC=45°, ∵∠BOD=∠BOC=90°,OB=OD=4, ∴BD=OB=4, ∴OF=BD=2, ∵M、N是OB、OD的中点, ∴MN=BD=×4=2, ∵四边形MNGH是矩形, ∴MN=GH=2,EH=EG=MN=, 在Rt△HOE中,OE2=OH2-HE2,即OE2=42-()2, 解得:OE=, ∴EF=OE-OF=-2, ∵扇形OBD的面积=lR=×π×4=π, ∴图中阴影部分的面积=π-×4×4-(-2)×2=π-8-4+8 =π-4.
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