如图，在△OA1B1中，∠OA1B1=90°，OA1=A1B1=1．以O为圆心，OA1为半径作扇形OA1B2，A1B2与OB1相交于点B2，设△OA1B1与扇形

题型：不详难度：来源：

如图，在△OA₁B₁中，∠OA₁B₁=90°，OA₁=A₁B₁=1．以O为圆心，OA₁为半径作扇形OA₁B₂，

A1B2

与OB₁相交于点B₂，设△OA₁B₁与扇形OA₁B₂之间的阴影部分的面积为S₁；然后过点B₂作B₂A₂⊥OA₁于点A₂，又以O为圆心，OA₂为半径作扇形OA₂B₃，

A2B3

与OB₁相交于点B₃，设△OA₂B₂与扇形OA₂B₃之间的阴影部分面积为S₂；
按此规律继续操作，设△OA_nB_n与扇形OA_nB_n+1之间的阴影部分面积为S_n．
则S₁=______；S_n=______．

答案

如图，∵在△OA₁B₁中，∠OA₁B₁=90°，OA₁=A₁B₁=1．
∴∠B₁OA₁=45°．
以O为圆心，OA₁为半径作扇形OA₁B₂，得到S₁=S_△OA1B1-S_扇形OA1B2=

1

2

-

45π×1

360

=

1

2

-

π

8

；
在直角△OA₂B₂中，OB₂=1，则OA₂=

2

2

，得到S₂=S_△OA2B2-S_扇形OA2B3=

1

4

-

45π×( 2 2 )2

360

=

1

4

-

π

16

；
依此类推得到S_n=

1

2n

-

π

2n+2

．
故答案是：

1

2

-

π

8

；

1

2n

-

π

2n+2

．