在△ABC中,AB=AC,∠BAC<60°,把线段BC绕点B逆时针旋转60°至BP;如图所示位置有∠ABQ=60°,∠BCQ=150°.(1)若∠BAC=30°

在△ABC中,AB=AC,∠BAC<60°,把线段BC绕点B逆时针旋转60°至BP;如图所示位置有∠ABQ=60°,∠BCQ=150°.(1)若∠BAC=30°

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在△ABC中,AB=AC,∠BAC<60°,把线段BC绕点B逆时针旋转60°至BP;如图所示位置有∠ABQ=60°,∠BCQ=150°.

(1)若∠BAC=30°,则∠ABP=      度;若∠BAC=α,则∠ABP=          (用α表示);
(2)求证:△ABQ为等边三角形;
(3)四边形CBPQ的面积为1,求△ABC的面积.
答案
(1)15,;(2)证明见解析;(3)1.
解析

试题分析:(1)若∠BAC=30°,一方面在△ABC中,AB=AC,可得∠ABC=75°,另一方面由旋转的性质知∠CBP=60°,因而∠ABP=15°;若∠BAC=α,同上可得,因而由∠BAC<60°可得,所以;(2)连接CP,AP,由已知和旋转的性质,通过证明△ABP≌△ACP(SSS)和△ABP≌△QBC(ASA)来证明△ABQ为等边三角形;(3)通过转换,可得.
试题解析:(1)15;.
(2)如图,连接CP,AP,
由旋转的性质知BC=BP,∠CBP=60°,∴△BCP为等边三角形. ∴BP=CP,∠BPC=60°.
在△ABP和△ACP中,∵,∴△ABP≌△ACP(SSS). ∴.
又∵∠BCQ=150°,∴.
在△ABP和△QBC中,∵,∴△ABP≌△QBC(ASA). ∴BA=BQ.
∴△ABQ为等边三角形.
(3)如图,过点A作AH⊥BP交BP的延长线于点H,则
由(2),∴. ∴.
由(2)△ABQ为等边三角形得,∴. ∴.
由(2)得,∴.
又∵,∴.

举一反三
如图,△ABC绕点A逆时针旋转60°后能与△AB1C1重合,已知∠ABC=110°,∠C=45°则∠BAC1的度数是(  )
A.25°B.45°C.60°D.85°

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已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:            

(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;

(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

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对下图的对称性表述,正确的是( )
A.轴对称图形
B.中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形

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如图,在△ABC中,∠CAB=70°.在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△A′B′C的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=(  )
A.30° B.35°C.40° D.50°

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在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=4,以点D为旋转中心将腰DC逆时针旋转90°至DE,连接AE,则△ADE的面积为         .

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