某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB<BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③),图中的M、N分别为直角三角形的
题型:不详难度:来源:
某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB<BC)的对角线的交点O旋转(①→②→③),图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。 ⑴该学习小组成员意外的发现图①(三角板一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2,在图③中(三角板一边与OC重合),CN2=BN2+CD2,请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由。
⑵试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由。
⑶将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD,直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④,两直角边与AB、BC分别交于M、N,直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之 间所满足的数量关系(不需要证明) |
答案
⑴见解析⑵CM2+CN2=DM2+BN2,理由见解析⑶CM2-CN2+ DM2-BN2=2 |
解析
⑴选择图①证明: 连结DN ∵矩形ABCD ∴BO=DO ∠DCN=900 ∵ON⊥BD ∴NB=ND ∵∠DCN=900 ∴ND2=NC2+CD2 ∴BN2=NC2+CD2 (4分) 注:若选择图③,则连结AN同理可证并类比给分 ⑵CM2+CN2=DM2+BN2 理由如下: 延长DO交AB于E ∵矩形ABCD ∴BO=DO ∠ABC=∠DCB=900 AB∥CD ∴∠ABO=∠CDO ∠BEO=∠DMO ∴△BEO≌△DMO ∴OE=OM BE=DM ∵MO⊥EM ∴NE=NM ∵∠ABC=∠DCB=900 ∴NE2=BE2+BN2 NM2=CN2+CM2 ∴CN2+CM2 =BE2+BN2 即CN2+CM2 =DM2+BN2 (4分) ⑶CM2-CN2+ DM2-BN2=2(2分) (1)作辅助线,连接DN,在Rt△CDN中,根据勾股定理可得:ND2=NC2+CD2,再根据ON垂直平分BD,可得:BN=DN,从而可证:BN2=NC2+CD2; (2)作辅助线,延长MO交AB于点E,可证:△BEO≌△DMO,NE=NM,在Rt△BEN和Rt△MCN中,根据勾股定理和对应边相等,可证:CN2+CM2=DM2+BN2; (3)根据正方形的性质知:OA=OB,∠OAM=∠OBN,∠AOB=∠AOM+∠BOM=90°,∠MON为直角三角板的直角,可知:∠MON=∠BOM+∠BON=90°,可得:∠AOM=∠BON,从而可证:△AOM≌△BON,AM=BN,又AB=BC,可得:BM=CN,在Rt△ADM和△BCM中,根据勾股定理:DM2=AM2+AD2=BN2+AD2,MC2=MB2+BC2=CN2+BC2,故可得:CM2-CN2+DM2-BN2=2. |
举一反三
某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛,从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案,你认为符合条件的是( ). |
阅读下面材料,并解决问题: (1)如下图1,等边△ABC内有一点P若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5则∠APB=______,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌_______这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数. (2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知:如图2,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2. |
如图,在Rt△ABC中,OA=2,AB=1,把Rt△ABO绕着原点逆时针旋转90°,得△A'B'O,那么点A'的坐标为 ( )
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如图,三角板中,,,BC=2.三角板绕直角顶点逆时针旋转,当点的对应点落在边上时即停止转动,则点转过的路径长为 . |
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