如图,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD.求证:AD平分∠CDE.

如图,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD.求证:AD平分∠CDE.

题型:不详难度:来源:
如图,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,连接AD.求证:AD平分∠CDE.
答案
证明:如图,连接AC,将△ABC绕A点旋转120°到△AEF,
∵AB=AE,∠BAE=120°,
∴AB与AE重合,并且AC=AF,
又∵∠ABC+∠AED=180°,
而∠ABC=∠AEF,
∵∠AEF+∠AED=180°,
∴D,E,F在一条直线上,
而BC=EF,BC+DE=CD,
∴CD=DF,
又∵AC=AF,
∴△ACD≌△AFD,
∴∠ADC=∠ADF,
即AD平分∠CDE.
举一反三
如图所示,△ABC,△ADE为等腰直角三角形,∠ACB=∠AED=90°.
(1)如图1,点E在AB上,点D与C重合,F为线段BD的中点.则线段EF与FC的数量关系是______;∠EFD的度数为______;
(2)如图2,在图1的基础上,将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置,其中D、A、C在一条直线上,F为线段BD的中点.则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系?证明你的结论;
(3)若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置,F为线段BD的中点,连接EF、FC,请你完成图3,并直接写出线段EF与FC的关系(无需证明).
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在矩形ABCD中,AB=2,AD=


3

(1)在边CD上找一点E,使EB平分∠AEC,并加以说明;
(2)若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.
①求证:点B平分线段AF;
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能,加以证明,并求出旋转度数;若不能,请说明理由.
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已知,如图:正方形ABCD,将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合,直角顶点F落在正方形的AB边上,Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点,(点P与点F重合),如图1所示:

(1)求证:EP2+GQ2=PQ2
(2)若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α(0°<α≤90°),两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点,如图2所示:判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系?若存在,证明你的结论.若不存在,请说明理由;
(3)若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α(90°<α<180°),两直角边分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点,并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系?按题意完善图3,请直接写出你的结论(不用证明).
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将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.

(1)将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,求证:CP1=


2
2
AP1
(2)将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C(如图3),点P2是A2C与AB的交点.线段CP1与P1P2之间存在一个确定的等量关系,请你写出这个关系式并说明理由;
(3)将图3中线段CP1绕点C顺时针旋转60°到CP3(如图4),连接P3P2,求证:P3P2⊥AB.
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一块空地,如图,AC=BC,∠ACB=90°,∠DCE=45°,AD=3m,BE=4m,在△ADC中种红花,△DCE中种紫花,△BCE中种黄花,红花、紫花、黄花每平方米要投入8元、10元、12元,问共需投入多少元?
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