如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将正三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB交于点C、D．（1）如图①若边PC和OA垂直，那么线段

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将正三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB交于点C、D．
（1）如图①若边PC和OA垂直，那么线段PC和PD相等吗？为什么？
（2）如图②将正三角形绕P点转过一角度，设两边与OA、OB分别交于C"，D"，那么线段PC"和PD"相等吗？为什么？

答案

解：（1）PC和PD相等． 理由：
∵OM平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD=60°，
∵PC⊥OA，
∴∠CPO=180°﹣90°﹣60°=30°，
∵∠CPD=60°，
∴∠DPO=∠CPD﹣∠CPO=30°，
∴∠CPO=∠DPO；
∵PO=PO，
∴△PCO≌△PDO（ASA），
∴PC=PD．
（2）PC"和PD"相等．理由：
由（1）得△PCO≌△PDO，
∴PC=PD，∠PCC"=∠PDD"=90°，
∵∠CPD=∠C"PD"，
∴∠CPD﹣∠C"PD=∠C"PD"﹣∠C"PD，
即∠CPC"=∠DPD"，
∴根据“ASA”，可以得到△PCC"≌△PDD"．
∴PC"=PD"．