将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)

将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)

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将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H.。
(1)当α=30°时(如图②),求证:AG=DH;
(2)当α=60°时(如图③),(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由。
答案

证明:(1)∵∠A=∠ADM=30°
∴ AM=DM
∵∠BDC=90°-∠ADM=60°=∠B
∴ CD=CB
∵MG⊥AD,NH⊥DB
∴AG=,DH=
∵D是AB的中点
∴AD=DB
∴AG=DH
(2)结论成立
∵∠ADM=60°
∴∠BDN=30°
在△AMD和△DNB中
∵∠ADM=∠B,AD=DB,∠A=∠BDN
∴△AMD≌△DNB
∴AM=DN
∵ MG⊥AD,NH⊥DB
∴∠AGM=∠DHN=90°
∴△AGM≌△DHN
∴AG=DH

举一反三
如图,在8×11的方格纸中,△ABC的顶点均在小正方形的顶点处。
(1)画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到的△A"B"C";
(2)求点B运动到点B′所经过的路径的长度。
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如图1,在6×6的方格纸中,给出如下三种变换:P变换,Q变换,R变换,将图形F沿x轴向右平移1格得图形F1,称为作1次P变换;将图形F沿y轴翻折得图形F2,称为作1次Q变换;将图形F绕坐标原点顺时针旋转90得图形F3,称为作1次R变换。规定:PQ变换表示先作1次Q变换,再作1次P变换;QP变换表示先作1次P变换,再依作1次Q变换;Rn变换表示作n次R变换。解答下列问题:
(1)作R4变换相当于至少作(      )次Q变换;
(2)请在图2中画出图形F作R2009变换后得到的图形F4
(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换?请在图3中画出PQ变换后得到的图形F5,在图4中画出QP变换后得到的图形F6
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已知点A的坐标为(a,b),O为坐标原点,连结OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1,则点A1的坐标为(      )。
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如果4张扑克按图A的形式摆放在桌面上,将其中一张旋转180°后,扑克的放置情况如图B所示,那么旋转的扑克从左起是
[     ]
A.第一张
B.第二张
C.第三张
D.第四张
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如图,将△ABC绕点C旋转60得到△A"B"C,已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形的面积为
[     ]
A.π
B.π
C.6π
D.π
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