观察下列等式11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+1

题型：不详难度：来源：

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=  ______
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2011×2012

=______
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=______
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2010×2012

．

答案

（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）①

2011

2012

；②

n

n+1

；
（3）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

1005×1006

）
=

1

4

×

1005

1006

=

1005

4024

．