已知a、b、c都是整数,且对一切实数x,(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c)都成立,则这样的有序数组(a,b,c)共有______组.
题型:不详难度:来源:
已知a、b、c都是整数,且对一切实数x,(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c)都成立,则这样的有序数组(a,b,c)共有______组. |
答案
∵(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c), ∴x2-(a+2002)x+2002a-2=(x+b)(x+c), ∵对一切实数x,(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c)都成立, ∴b与c是方程x2-(a+2002)x+2002a-2=0①的两整数根, ∵a是整数, ∴△=(a+2002)2-4(2002a-2)=(a-2002)2+8是完全平方, 令(a-2002)2+8=n2,这里n为正整数,n>|a-2002|. 于是有(n+a-2002)(n-a+2002)=8, 或, 解得n=3,a=2001或2003; 从而方程①的两根为:[(a+2002)±3]. 当a=2001时,方程①的两根为2000,2003; 当a=2003时,方程①的两根为2001,2004.故 满足条件的有序组(a,b,c)共有如下4组: (2001,2000,2003),(2001,2003,2000),(2003,2001,21304),(2003,2004.2001). 故答案为:4. |
举一反三
满足x>y>0且x3+7y=y3+7x的整数x=______,整数y=______. |
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