设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.若a,b,c均为整数,且c=13ab-(a+b),求满足条件的直角三角形的个数.
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设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.若a,b,c均为整数,且c=13ab-(a+b),求满足条件的直角三角形的个数.
题型:不详
难度:
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设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.若a,b,c均为整数,且c=
1
3
ab-(a+b),求满足条件的直角三角形的个数.
答案
由勾股定理得,c
2
=a
2
+b
2
.
又∵c=
1
3
ab-(a+b),得
c
2
=[
1
3
ab-(a+b)
]
2
=
1
9
(ab
)
2
-
2
3
ab(a+b)+(a+b
)
2
.
即
a
2
+
b
2
=
1
9
(ab
)
2
-
2
3
ab(a+b)+
a
2
+2ab+
b
2
.
整理得,ab-6(a+b)+18=0,即(a-6)(b-6)=18,
∵a,b均为正整数,不妨设a<b,
可得
a-6=1
b-6=18
或
a-6=2
b-6=9
或
a-6=3
b-6=6
,
可解出
a=7
b=24
c=25
或
a=8
b=15
c=17
或
a=9
b=12
c=15 .
,
∴满足条件的直角三角形有3个.
故答案为:3.
举一反三
方程x
2
+2xy+3y
2
=34的整数解(x,y)的组数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
题型:不详
难度:
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要使等式
1
2
=
1
x
+
1
y
成立的自然数(x,y)是 ______.
题型:不详
难度:
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整数x,y满足方程2xy+x+y=83,则x+y=______或 ______.
题型:不详
难度:
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方程
1
x
+
1
y
=
1
2002
的正整数解构成的有序数组(x,y)共有______组.
题型:不详
难度:
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不定方程x
2
-2y
2
=5的正整数解(x,y)的组数是( )
A.0组
B.2组
C.4组
D.无穷多组
题型:不详
难度:
|
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