如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．（1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；（2）如果P是BC上的任意一点（中点除外

题型：不详难度：来源：

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．
（1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；
（2）如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF，这个结论还成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由．

答案

（1）证明：∵P，E，F分别为中点，
∴PE=

1

2

AB，PF=

1

2

CD．（三角形中位线定理）
∴PE+PF=

1

2

（AB+CD）．
又∵AB=CD，
∴AB=PE+PF．

（2）成立．
∵PE∥AB，PF∥CD，
∴

PE

AB

=

PC

BC

，

PF

CD

=

PB

BC

，（平行线分线段成比例定理）
∵AB=CD
∴

PE

AB

+

PF

CD

=

PC

BC

+

PB

BC

∴

PE+PF

AB

=

PC+PB

BC

=

BC

BC

=1，
∴

PE+PF

AB

=1，
∴PE+PF=AB．