小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法:如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M作OB的垂线,过点N作OA的垂线,垂足分别为

小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法:如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M作OB的垂线,过点N作OA的垂线,垂足分别为

题型:不详难度:来源:
小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法:如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使OM=ON,再过点M作OB的垂线,过点N作OA的垂线,垂足分别为C、D,
魔方格
两垂线交于点P,那么射线OP就是∠AOB的平分线.老师当场肯定他的作法,并且表扬他的创新.但是小林不知道这是为什么.
①你能说明这样做的理由吗?也就是说,你能证明OP就是∠AOB的平分线吗?
②请你只用三角板设法作出图∠AOB的平分线,并说明你的作图方法或设计思路.
答案
①证明:在△OCM和△ODN中,





∠COM=∠DON
∠OCM=∠ODN=90°
OM=ON

∴△OCM≌△ODN(AAS),
∴OC=OD,
在△OCP与△ODP中,





OC=OD
OP=OP

∴Rt△OCP≌Rt△ODP(HL),
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB;

②a.利用刻度尺在∠AOB的两边上分别取OC=OD;
b.过C,D分别作OA,OB的垂线,两垂线交于点E;
c.作射线OE,OE就是所求的角平分线.
∵CE⊥OA,ED⊥OB,
∴∠OCE=∠ODE=90°,
魔方格

在Rt△OCE与Rt△ODE中,





OC=OD
OE=OE

∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL),
∴∠EOC=∠EOD,
∴OE为∠AOB的角平分线.
举一反三
如图,已知△ABC,请用直尺与圆规作图,将三角形的面积两等分.(不写作法,但要保留作图痕迹)魔方格
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我们知道:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,说明斜边上的中线可把直角三角形分成两个等腰三角形(图①).又比如,顶角为36°的等腰三角形也能分成两个等腰三角形(图②).
(1)试试看,你能把图③、图④、图⑤中的三角形分成两个等腰三角形吗?
(2)△ABC中,有一内角为36°,过某一顶点的直线将△ABC分成两个等腰三角形,则满足上述条件的不同形状(相似的认为是同一形状)的△ABC最多有5种,除了图②、图③中的两种,还有三种,请你画出来.

魔方格
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在图中找出点P,使得点P到C、D两点的距离相等,并且点P到OA、OB的距离也相等.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)魔方格
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已知:如图∠α,∠β和线段a.画一个三角形使它的两个角等于已知∠α,∠β,一边等于已知线段a.(保留作图痕迹)魔方格
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如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图2中,画一个等腰三角形,使它的一条边长为2


2
,另两边长为无理数.魔方格
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