已知函数f(x)=bx-5x+a(x≠-a,a、b是常数,且ab≠-5),对定义域内任意x(x≠-a、x≠-a-3且x≠a+3),恒有f(3+x)+f(3-x)
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已知函数f(x)=bx-5x+a(x≠-a,a、b是常数,且ab≠-5),对定义域内任意x(x≠-a、x≠-a-3且x≠a+3),恒有f(3+x)+f(3-x)
题型:解答题
难度:一般
来源:上海二模
已知函数
f(x)=
bx-5
x+a
(x≠-a,a、b是常数,且ab≠-5),对定义域内任意x(x≠-a、x≠-a-3且x≠a+3),恒有f(3+x)+f(3-x)=4成立.
(1)求函数y=f(x)的解析式,并写出函数的定义域;
(2)求x的取值范围,使得f(x)∈[0,2)∪(2,4].
答案
(1)∵
f(x)=
bx-5
x+a
=b-
ab+5
x+a
(ab≠-5),f(3+x)+f(3-x)=4
,
∴
b-
ab+5
3+a+x
+b-
ab+5
3+a-x
=4
,即
(2b-4)-(ab+5)
2a+6
(3+a+x)(3+a-x)
=0
对使等式有意义的任意x恒成立.(4分)
∴
2a+6=0
2b-4=0
,
a=-3
b=2
.(6分)
于是,所求函数为
f(x)=
2x-5
x-3
,
定义域为(-∞,3)∪(3,+∞).(8分)
(2)∵
f(x)=
2x-5
x-3
=2+
1
x-3
(x≠3)
,f(x)∈[0,2)∪(2,4],
∴0≤f(x)<2或2<f(x)≤4,
即
0≤2+
1
x-3
<2或2<2+
1
x-3
≤4
.(10分)
解不等式
0≤2+
1
x-3
<2,得x≤
5
2
;
解不等式
2<2+
1
x-3
≤4,得x≥
7
2
.(14分)
∴当
x∈(-∞,
5
2
]∪[
7
2
,+∞)
时,f(x)∈[0,2)∪(2,4].(16分)
举一反三
设a,b∈R,若
{a,
b
a
,1}={
a
2
,a+b,0}
,则a
2010
+b
2010
=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设有两个集合A=
{x|
3-2x
x-1
+1≥0,x∈R},B={x|2ax<a+x,a>
1
2
,x∈R}
.若A∪B=B,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知a,b,c∈(0,1)且
{
2
a
,
b
1
2
,lo
g
3
c}={-
1
2
,
1
4
,
3
2
}
,则b=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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设集合A={x,xy,xy-1},其中x∈Z,y∈Z且y≠0,若0∈A,则A中的元素之和为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设集合A={x|x
2
-3x+2=0},B={x|x
2
-ax+(a-1)=0},C={x|x
2
-mx+2=0},若A∪B=A,A∩C=C,
(I)求实数a的取值集合.
(Ⅱ)求实数m的取值集合.
题型:解答题
难度:一般
|
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