若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X
题型：填空题难度：一般来源：不详
若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是______． |
答案
①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；
而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；
②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ
因此②是集合X上的拓扑的集合τ；
③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；
④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ
因此④是集合X上的拓扑的集合τ；
故答案为②④． |
举一反三
| 设集合A={1，2，3，4，5}，B={2，4}则正确的是（ ） |
| 若集合A={x|a≤x≤a+}⊆{x|0≤x≤1}，B={x|b≤x≤b+}⊆{x|0≤x≤1}且A∩B={x|c≤x≤c+m}，则实数m的最大值与最小值的和是______． |
| 下列八个关系式：（1）{0}=φ，（2）φ=0，（3）φ⊊{φ}，（4）φ∈{φ}，（5）{0}⊇φ，（6）0∉φ，（7）φ≠{0}，（8）φ≠{φ}其中正确的个数（ ） |
| 已知集合A和集合B各含有4个元素，A∩B含有3个元素，①C中含有3个元素； ②C⊆A∪B．同时满足上面两个条件的集合C的个数：______ |
下列各式中，正确的个数是（ ）
①ϕ={0}；②ϕ⊆{0}；③ϕ∈{0}；④0={0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1，2，3}；⑦{1，2}⊆{1，2，3}；⑧{a，b}⊆{b，a}． |
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