已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.(1)是否存在实数a,使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在,求出符合条件的a,若不存在,请说明理由.(
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}. (1)是否存在实数a,使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在,求出符合条件的a,若不存在,请说明理由. (2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,对于任意的n∈N+,均有Sn∈A,求a的取值范围. |
答案
(1)当a<1时,A={x|a≤x≤1},不符合; 当a≥1时,A={x|-2≤x≤1},设a∈[n,n+1),n∈N,则 1+2++n==28, 所以n=7,即a∈[7,8) (2)当a≥1时,A={x|1≤x≤a}.而S2=a+a2∉A,故a≥1时,不存在满足条件的a; 当0<a<1时,A={a≤x≤1},而Sn=是关于n的增函数, 所以Sn随n的增大而增大, 当Sn<且无限接近时,对任意的n∈N+,Sn∈A,只须a满足解得0<a≤. 当a<-1时,A={x|a≤x≤1}. 而S3-a=a2+a3=a2(1+a)<0,S3∉A故不存在实数a满足条件. 当a=-1时,A={x|-1≤x≤1}.S2n-1=-1,S2n=0,适合. ⑤当-1<a<0时,A={x|a≤x≤1}.S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n(1+a)>S2n-1,S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1(1+a)<S2n, ∴S2n-1<S2n+1,S2n+2<S2n,且S2=S1+a2>S1. 故S1<S3<S5<…<S2n+1<S2n<S2n-2<…<S4<S2. 故只需即 解得-1<a<0. 综上所述,a的取值范围是{a|0<a≤或-1≤a<0}. |
举一反三
若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值组成的集合中元素的个数为______. |
已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N.求a、b的值. |
集合{x-2,x2-4,0}中的x不能取的值是( ) |
下列给出的对象中,能表示集合的是( )A.一切很大的数 | B.无限接近零的数 | C.聪明的人 | D.方程x2=2的实数根 |
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判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}. |
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