已知奇函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,又知函数g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m,θ∈[0,π2]
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已知奇函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,又知函数g(θ)=sin2θ+mcosθ-2m,θ∈[0,π2]
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知奇函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定义,在(0,+∞)上是增函数,f(1)=0,又知函数g(θ)=sin
2
θ+mcosθ-2m,
θ∈[0,
π
2
]
,集合M={m|恒有g(θ)<0},N={m|恒有f(g(θ))<0},求M∩N.
答案
∵奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,0)上也是增函数,
又由f(1)=0得f(-1)=-f(1)=0
∴满足
g(θ)<0
f(g(θ))<0=f(-1)
的条件是
g(θ)<0
g(θ)<-1
即
g(θ)<-1(θ∈[0,
π
2
])
,即sin
2
θ+mcosθ-2m<-1,
也即-cos
2
θ+mcosθ-2m+2<0.
令t=cosθ,则t∈[0,1],又设δ(t)=-t
2
+mt-2m+2,0≤t≤1
要使δ(t)<0,必须使δ(t)在[0,1]内的最大值小于零
1°当
m
2
<0即m<0时,δ(t)
max
=δ(0)=-2m+2,解不等式组
m<0
-2m+2<0
知m∈∅
2°当0≤
m
2
≤1即0≤m≤2时,δ(t)
max
=
m
2
-8m+8
4
,
由
m
2
-8m+8
4
<0,解得
4-2
2
≤m≤4+2
2
,故有
2≥m≥4-2
2
当
m
2
>1即m>2时,δ(t)
max
=-m+1,解不等式组
m>2
-m+1<0
得m>2
综上:
M∩N={m|m>4-2
2
}
举一反三
已知全集U=R,集合
A={x|x≥
1
2
}
,集合B={x|x≤1},那么∁
U
(A∩B)等于( )
A.
{x|x<
1
2
或x>1}
B.
{x|
1
2
<x<1}
C.
{x|x≤
1
2
或x≥1}
D.
{x|
1
2
≤x≤1}
题型:单选题
难度:简单
|
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已知集合A={x
题型:x-2|<3,x∈R},B={x|2
x
>2
a
,x∈R},且A∩B=A,那么实数a的取值范围是______.
难度:
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已知集合U={-1,2,x
lgx
},A={-1,2},且∁
U
A={10},则x=______.
题型:填空题
难度:简单
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已知集合A={x
题型:x-2|<3,x∈R},
B={x|
1
x-a
>0,x∈R}
,且A∩B=A,那么实数a的取值范围是______.
难度:
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若集合A={(x,y)|y=x+2,x∈R},集合B={(x,y)|y=2
x
,x∈R},则A∩B的子集个数是 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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