已知函数f(x)=x+2x．（1）求证：函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（2）设集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

2

x

．
（1）求证：函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）设集合M={y|y=f（x）-x，x∈[-1，0）∪（0，2]}，求集合M．

答案

（1）证明：∵f′（x）=1-

2

x2

，又x∈[2，+∞），
∴0＜

2

x2

≤

1

2

，-

1

2

≤-

2

x2

＜0，

1

2

≤1-

2

x2

＜1，
即f′（x）≥

1

2

＞0，
∴函数f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（2）∵|y=f（x）-x=

2

x

，在（-∞，0），（0，+∞）为减函数，又x∈[-1，0）∪（0，2]，
∴y≤-2或y≥1．
∴M={y|y≤-2或y≥1}．