设集合A={（x，y）|y2=x+1}，集合B={（x，y）|4x2+2x-2y+5=0}，集合C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A

题型：解答题难度：一般来源：不详

设集合A={（x，y）|y²=x+1}，集合B={（x，y）|4x²+2x-2y+5=0}，集合C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=φ？证明你的结论．

答案

∵（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）=φ，
∴A∩C=φ且B∩C=φ，即方程组

y2=x+1 y=kx+b

⇒k2x2+(2kb-1)x+b2-1=0…①无解．
当k=0时，方程①有解x=b²-1，与题意不符，
∴k≠0，①无解⇒△₁=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0⇒b＞

4k2+1

4k

，
∵k∈N，∴b＞1．
由方程组

4x2+2x-2y+5=0 y=kx+b

⇒4x2+2（1-k）x+5-2b=0…②无解，即

△2=4(1-k)2-16(5-2b)＜0 ⇒b＜ 20-(k-1)2 8 ≤ 20 8

∴要①、②同时无解，则1＜b≤

20

8

，但b∈N
∴b=2，从而可得k=1．
∴存在自然数k=1，b=2，使（A∪B）∩C=φ．