对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数y=3-

4

x

是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）

答案

（1）设[m，n]是函数y=3-

4

x

的“和谐区间”，则y=3-

4

x

在[m，n]上单调．
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
因此，y=3-

4

x

在[m，n]上为增函数．
则f（m）=m，f（n）=n．即方程3-

4

x

=x有两个解m，n
又3-

4

x

=x可化为x²-3x+4=0，而x²-3x+4=0无实数解．
所以，函数y=3-

4

x

不存在“和谐区间”
（2）因为f(x)=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是

a+1

a

-

1

a2x

=x的两个同号的实数根
即方程a²x-（a²+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到mn=

1

a2

＞0
只要△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

( a2+a a2 )- 4 a2

=

- 3 a2 + 2 a +1

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

其中a＞1或a＜-3，所以，当a=3时，n-m取最大值

2 3

3

（3）答案不唯一，如可写出以下函数：y=a-x（a为常数），y=

k

x

（k＞0为常数）