附加题:连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)成立,且f(x)不是常数函数.(Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0
题型:解答题难度:一般来源:不详
附加题: 连续函数f(x)满足:对于任何x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)⋅f(y)成立,且f(x)不是常数函数. (Ⅰ)求证:对于任意x∈R,都有f(x)>0; (Ⅱ)求证:对于任意x∈Q,都有f(x)=[f(1)]x; (Ⅲ)设f(1)=a,求证:对于任意x∈R,都有f(x)=ax. |
答案
证明:(I)假设设f(x)<0, ∵x、y∈R,则f(x+y)<0 f(x).f(y)>0, 与f(x+y)=f(x).f(y)矛盾, ∴f(x)>0 (II)对任意x,f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1,即f(-x)==[f(x)]-1 可以推出:f(m)=f(1+1+…+1)=[f(1)]m,m为正整数. f(1)=f(++…+)=[f()]n,f()=[f(1)],n为正整数. 设x=,m、n为整数. f(x)=f()=[f(1)]=[f(x)]x (III)设x为任意实数,则存在一系列有理数(可能是无穷多个)x1、x2、x3、… 使得x=x1+x2+x3+… ∵f(x+y)=f(x)⋅f(y) 所以,f(x)=f(x1+x2+x3+…)=ax1•a^x2•ax3•…=a(x1+x2+x3+…)=ax |
举一反三
函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数,现有f(x)=-k是对称函数,那么k的取值范围是______. |
对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]内是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]时,则称[m,n]是该函数的“和谐区间”. (1)判断函数y=3-是否存在“和谐区间”,并说明理由; (2)如果[m,n]是函数y=(a≠0)的一个“和谐区间”,求n-m的最大值; (3)有些函数有无数个“和谐区间”,如y=x,请你再举一类(无需证明) |
函数fM(x)的定义域为R,且定义如下:fM(x)=(其中M为非空数集且M⊈R),在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A∩B≡∅,则函数F(x)=的值域为( ) |
已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程g(f(x))=x的解集为( )x | 1 | 2 | 3 | f(x) | 2 | 3 | 1 | 已知f(x)的定义域是[0,1],且f(x+m)+f(x-m)的定义域是∅,则正数m的取值范围是______. |
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