已知f(x)=ax2+2b-3x是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f(2)=-53．（1）求a，b的值；（2）请用函数单调性的定义说明：f（x）在区

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

ax2+2

b-3x

是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f(2)=-

5

3

．
（1）求a，b的值；
（2）请用函数单调性的定义说明：f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）求f（x）的值域．

答案

（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f(2)=-

5

3

得a=2…..（4分）
（2）f(x)=-

2

3

(x+

1

x

)在（1，+∞）上为减函数．
证明：任取1＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=-

2

3

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上为减函数…（8分）
（3）同理，f（x）在（0，1）递增∴x＞0时，f(x)≤f(1)=-

4

3

，
又f（x）为奇函数，∴x＜0时f(x)≥

4

3

，
综上所述，f（x）的值域为(-∞，-

4

3

]∪[

4

3

，+∞)…（11分）