已知f(x)=a-ccosxb+csinx+b-csinxa+ccosx，其中a、b、c为正实数，x∈[0，π2]．（1）若f（x）=0，求常数a、b、c所满足

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

a-ccosx

b+csinx

+

b-csinx

a+ccosx

，其中a、b、c为正实数，x∈[0，

π

2

]．
（1）若f（x）=0，求常数a、b、c所满足的条件；
（2）当a=b=c≠0时，求函数y=f（x）的值域．

答案

（1）由f（x）=0，
可得

a-ccosx

b+csinx

+

b-csinx

a+ccosx

=

a2-c2cos2x+b2-c2sin2x

(b+csinx)(b+csinx)

=

a2+b2-c2

(b+csinx)(b+csinx)

=0，
得a²+b²-c²=0；
（2）当a=b=c≠0时，y=

1

1+sinx+cosx+sinxcosx

，
令sinx+cosx=t，sinxcosx=

t2-1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴t=sinx+cosx∈[1，

2

]，
而y=

1

1+sinx+cosx+sinxcosx

=

2

(t+1)2

，（t+1）²在[1，

2

]上是增函数，
∴（t+1）²∈[4，3+2

2

]，
∴函数y=f（x）的值域为[6-4

2

，

1

2

]