已知函数f(x)=-x, g(x)=1-2x1+2x,H(x)=f(x)+g(x)(1)判断并证明函数g(x)的单调性.(2)当x∈[-12,1]时,求H(x)
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已知函数f(x)=-x, g(x)=1-2x1+2x,H(x)=f(x)+g(x)(1)判断并证明函数g(x)的单调性.(2)当x∈[-12,1]时,求H(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=-x
,
g(x)=
1-
2
x
1+
2
x
,H(x)=f(x)+g(x)
(1)判断并证明函数g(x)的单调性.
(2)当
x∈[-
1
2
,1]
时,求H(x)的最小值.
答案
(1)
g(x)=
1-
2
x
1+
2
x
=-1+
2
1+
2
x
由2
x
在R上单调递增,得g(x)为单调减函数.
证明:
g(x)=
1-
2
x
2
x
+1
=
-1+
2
2
x
+1
在定义域中任取两个实数x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
g(
x
1
)-g(
x
2
)=
2(
2
x
2
-
2
x
1
)
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
∵x
1
<x
2
∴
2
x
1
<
2
x
2
从而g(x
1
)-g(x
2
)>0
所以函数g(x)在x∈R上为单调减函数..
(2)H(x)=f(x)+g(x)
=-x+
1-
2
x
1+
2
x
∵f(x)在R上单调减函数,g(x)在x∈R上为单调减函数
∴H(x)为R上的单调减函数,得H(1)最小,最小值为
-
3
4
.
举一反三
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x
2
.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)是否存在实数a,b(a≠b),使得y=f(x)在x∈[a,b]上的值域为
[
1
b
,
1
a
]
,若存在,求出实数a,b的值; 若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数
y=
(2-a)
x
2
+2(2-a)x+4
的定义域为R,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对数函数f(x)=ln|x-a|在[-1,1]区间上恒有意义,则a的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
-2ax+5(a>1).
(Ⅰ)当a=2,并且x∈[-3,3]时,求函数f(x)的值域;
(Ⅱ)若f(x)在x∈(1,3)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
h(x)=
2x-1
x-1
的值域是(-∞,0]∪[3,+∞),则其定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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