已知函数f（x）=x+1x．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；（2）求f（x）的定义域、值域．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求f（x）的定义域、值域．

答案

（1）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f"（x）=1-

1

x2

．
当x∈（0，1）时，f"（x）＜0恒成立
当x∈（1，+∞）时，f"（x）＞0恒成立
故函数f（x）在（0，1]单调递减，在区间[1，+∞）上的单调递增；
（2）要使函数的解析式有意义，自变量x须满足x≠0
故函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，由（1）知函数有最小值2
又∵函数为奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，函数有最大值2
综上函数的值域为：（-∞，-2）∪（2，+∞）