已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性；（2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x），当x，y∈R时恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果x＞0时，有f（x）＜0，试判断f（x）在R上的单调性，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若f(1)=-

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，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

答案

（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），
有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是减函数．
（3）由（2）知f（x）为在[-2，6]上为减函数．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-

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)=-3．