已知函数f(x),当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0),并判断f(x)的奇偶性;(2)如果x>0时,有f(x)<0,试判断f(x

已知函数f(x),当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求f(0),并判断f(x)的奇偶性;(2)如果x>0时,有f(x)<0,试判断f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x),当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0),并判断f(x)的奇偶性;
(2)如果x>0时,有f(x)<0,试判断f(x)在R上的单调性,并给出证明;
(3)在(2)的条件下,若f(1)=-
1
2
,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.
答案
(1)令x=y=0得f(0)=0,
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x),
又x∈R,所以f(x)为奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2
则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),
有f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),
又∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在R上是减函数.
(3)由(2)知f(x)为在[-2,6]上为减函数.
∴f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-
1
2
)=-3
举一反三
已知函数f(x)=1-
1
x
(x>0),若存在实数a,b(a<b),使y=f(x)的定义域为(a,b)时,值域为(ma,mb),则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知对数函数y=loga(4-x),(a>0且a≠1)
(1)求函数的定义域
(2)直接判断函数单调性(不需证明)
(3)当a=2时,写出一个你喜欢的x值,并求出其对应的函数值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数y=f(x)定义域是[1,4],则y=f(x-1)的定义域是(  )
A.[1,4]B.[1,5]C.[0,3]D.[2,5]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)满足f(x)=4x2+2x+1.
(1)设g(x)=f(x-1)-2x,求g(x)在[-2,5]上的值域;
(2)设h(x)=f(x)-mx,在[2,4]上是单调函数,求m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=a


1-x2
+


1+x
+


1-x
的最大值为g(a).
(1)设t=


1+x
+


1-x
,求t的取值范围;
(2)求g(a).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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