已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).(1)求证:若曲线C
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:若曲线C与直线l相切,则有(a-2)(b-2)=2; (2)求线段AB中点的轨迹方程; (3)求△AOB面积的最小值. |
答案
(1)由题意知A(a,0),B(0,b),∴直线l方程为+=1,即bx+ay-ab=0 曲线C表示一个圆,圆心C(1,1),半径r=1…(2分)∵直线与圆相切,∴=1,…(4分) 两边平方整理得ab+2-2a-2b=0,即(a-2)(b-2)=2…(5分) (2)设线段AB中点为M(x,y),由中点坐标公式得x=>1,y=>1,即…(7分)a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2得(2x-2)(2y-2)=2…(8分) 整理得AB中点M的轨迹方程为(x-1)(y-1)=(x>1,y>1)…(9分) (3)S△AOB=ab=[-2+2(a+b)]=-1+a+b=(a-2)+(b-2)+3≥3+2=3+2…(11分)(当且仅当a-2=b-2,又(a-2)(b-2)=2,即a=b=2+时取得等号)…(12分) 故△AOB面积的最小值为3+2…(13分) |
举一反三
已知y=4x-3•2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围是( )A.[2,4] | B.(-∞,0) | C.(0,1)∪[2,4] | D.(-∞,0]∪[1,2] |
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(Ⅰ)求y=4x-2x+1的值域; (Ⅱ)关于x的方程4x-2x+1+a=0有解,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数). (Ⅰ)若f(-1)=0,x∈R,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求f(x)的表达式; (Ⅱ)设a=1,记f(x)在(-∞,0]的最小值为g(b),求g(b). |
函数f(x)=+log3(x+1)的定义域是 ______. |
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