已知f(x)=x+1x+x+1x+1及g(x)=x+1x-x+1x+1.(1)分别求f(x)、g(x)的定义域,并求f(x)•g(x)的值;(2)求f(x)的最
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已知f(x)=x+1x+x+1x+1及g(x)=x+1x-x+1x+1.(1)分别求f(x)、g(x)的定义域,并求f(x)•g(x)的值;(2)求f(x)的最
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知
f(x)=
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
及
g(x)=
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
.
(1)分别求f(x)、g(x)的定义域,并求f(x)•g(x)的值;(2)求f(x)的最小值并说明理由;
(3)若
a=
x
2
+x+1
, b=t
x
, c=x+1
,是否存在满足下列条件的正数t,使得对于任意的正
数x,a、b、c都可以成为某个三角形三边的长?若存在,则求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)f(x)、g(x)的定义域均为(0,+∞);…(2分)
f(x)•g(x)=(
x
+
1
x
)
2
-( x+
1
x
+1 )=1
.…(4分)
(2)∵
x
+
1
x
≥2
,∴
(
x
+
1
x
)
2
≥4⇒x+
1
x
≥2
.…(7分)
易知函数
y=
x
+
1
x
与
y=
x+
1
x
+1
在(-∞,1]上均为减函数,在[1,+∞)上均为增函数,
∴
f(x
)
min
=f(1)=2+
3
.…(10分)
(3)∵
a=
x
2
+x+1
<x+1=c
,…(11分)
∴若能构成三角形,只需
x
2
+x+1
+t
x
>x+1
x
2
+x+1
+(x+1)>t
x
⇒
t>
x
+
1
x
-
x+
1
x
+1
t<
x
+
1
x
+
x+
1
x
+1
恒成立.…(13分)
由(1)知,
f(x)•g(x)=1⇒g(x)=
1
f(x)
,
∵
f(x)≥2+
3
,∴
g(x)=
1
f(x)
≤2-
3
,即
t>2-
3
.…(15分)
由(2)知,
f(x)≥2+
3
,∴
t<2+
3
.…(17分)
综上,存在
t∈( 2-
3
, 2+
3
)
,满足题设条件.…(18分)
举一反三
函数
f(x)=
x
2
-1
log
2
(x-1)
的定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx,且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”,若函数f(x)有且仅有一个不动点,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+
k
x
+
1
2
x
2
在 (0,
6
3
]上是单调减函数,求实数k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数f(x)=
lo
g
2
(x+1)
|x-2|-1
的定义域为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
设函数g(x)=x
2
-2(x∈R),
f(x)=
g(x)+x+4,x<g(x)
g(x)-x,x≥g(x)
则f(x)的值域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
将函数
y=
-x
x
2
-2x-3
的定义域用区间表示为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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