已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(Ⅰ)求函数f(x)的解析

已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.(Ⅰ)求函数f(x)的解析

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1-x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)-x只有一个零点.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n].
答案
(Ⅰ)因为二次函数f(x)=ax2+bx满足条件f(1-x)=f(1+x),
所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1.所以-
b
2a
=1,即b=-2a. …2分
因为函数g(x)=f(x)-x只有一个零点,即ax2-(2a+1)x=0有等根.
所以△=(2a+1)2=0.…4分
即a=-
1
2
,b=1.所以f (x)=-
1
2
x2+x.      …6分
(Ⅱ)①当m<n<1时,f (x)在[m,n]上单调递增,f (m)=3m,f (n)=3n,
所以m,n是-
1
2
x2+x=3x的两根.
解得m=-4,n=0;                    …8分
②当m≤1≤n时,3n=
1
2
,解得n=
1
6
.不符合题意;  …10分
③当1<m<n时,f (x)在[m,n]上单调递减,所以f (m)=3n,f (n)=3m.
即-
1
2
m2+m=3n,-
1
2
n2+n=3m.
相减得-
1
2
(m2-n2)+(m-n)=3(n-m).
因为m≠n,所以-
1
2
(m+n)+1=-3.所以m+n=8.
将n=8-m代入-
1
2
m2+m=3n,
得-
1
2
m2+m=3(8-m).但此方程无解.
所以m=-4,n=0时,f (x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n].…14分.
举一反三
在实数的原有运算中,我们补充定义新运算“⊕”如下:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2.设函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=loga(x-x2)(a>0,a≠1)
(1)求函数f(x)的定义域,
(2)求函数f(x)的值域,
(3)求函数f(x)的单调区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,1]上的值域;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=


log
1
2
(x2-1)
的定义域是(  )
A.[-


2
,-1)∪(1,


2
]
B.(-


3
,-1)∪(1,


2
C.[-2,-1)∪(1,2]D.(-2,-1)∪(1,2)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数y=


-x2-3x+4
x
的定义域为(  )
A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)∪(0,1]
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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