定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0。(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)试判断f(x)的奇偶
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定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0。 (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明; (3)若x≥0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合。 |
答案
解:(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1) ∴f(1)=0 令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1) ∴f(-1)=0。 (2)令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得 f(-x)=f(x)+f(-1) 又f(-1)=0, ∴f(-x)=f(x), 又f(x)不恒为0, ∴f(x)为偶函数。 (3)由f(x+1)-f(2-x)≤0,知f(x+1)≤f(2-x) 又由(2)知f(x)=f(|x|), ∴f(|x+1|)≤f(|2-x|) 又∵f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴|x+1|≤|2-x| 故x的取值集合为。 |
举一反三
当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域是( )。 |
已知函数f(x)=2x,g(x)=+2。 (1)求函数g(x)的值域; (2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值。 |
函数的定义域为 |
[ ] |
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,1] C.(-1,1) D.[-1,1] |
已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数), (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由. |
函数的定义域为 |
[ ] |
A.{x|x≥-3} B.{x|x>-3} C.{x|x≤-3} D.{x|x<-3} |
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