已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(x1x2)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断f（x）的单调性（

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(

x1

x2

)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时f（x）＜0．
（1）求f（1）的值
（2）判断f（x）的单调性
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜2．

答案

（1）令x₁=x₂得f（1）=0
（2）设x₁＞x₂＞0 则

x1

x2

＞1，f(

x1

x2

)＜0∴f(x1)-f(x2)=f(

x1

x2

)＜0
所以f（x）在（0，+∞）为减函数；
（3）∵f（1）=0，f（3）=-1∴f(3)=f(

1

1 3

)=f(1)-f(

1

3

)
∴f(

1

3

)=f(1)-f(3)=1，f(

1

9

)=f(

1

3

)-f(3)=2
∴f(|x|)＜2⇔f(|x|)＜f(

1

9

)⇔|x|＞

1

9

所以原不等式的解集为{x|x＜-

1

9

，或x＞

1

9

}．