已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)=f(x1)-f(x2),且当x>1时f(x)<0.(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的单调性(

已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)=f(x1)-f(x2),且当x>1时f(x)<0.(1)求f(1)的值(2)判断f(x)的单调性(

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(
x1
x2
)=f(x1)-f(x2)
,且当x>1时f(x)<0.
(1)求f(1)的值
(2)判断f(x)的单调性
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<2.
答案
(1)令x1=x2得f(1)=0
(2)设x1>x2>0 则
x1
x2
>1
f(
x1
x2
)<0
f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0

所以f(x)在(0,+∞)为减函数;
(3)∵f(1)=0,f(3)=-1∴f(3)=f(
1
1
3
)=f(1)-f(
1
3
)

f(
1
3
)=f(1)-f(3)=1
f(
1
9
)=f(
1
3
)-f(3)=2

f(|x|)<2⇔f(|x|)<f(
1
9
)⇔|x|>
1
9

所以原不等式的解集为{x|x<-
1
9
,或x>
1
9
}
举一反三
设函数g(x)=x2-2,f(x)=





g(x)+x+4,x<g(x)
g(x)-x,x≥g(x)
,则f(x)的值域是(  )
A.[-
9
4
,0]∪(1,+∞)
B.[0,+∞)C.[-
9
4
,0]
D.[-
9
4
,0]∪(2,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义在正整数集上的函数满足条件:,,则的值为(    )
A.-2;B.2;C.4;D.-4

题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数分别由下表给出

1
2
3

1
3
1

1
2
3

3
2
1
 
的值为            ;满足的值是          
题型:填空题难度:简单| 查看答案
定义在R上的函数,当x>0时,,且对任意的ab∈R,有fa+b)=fa)·fb).
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有fx)>0;
(3)求证:fx)是R上的增函数;
(4)若fx)·f(2xx2)>1,求x的取值范围.
题型:解答题难度:简单| 查看答案
已知定义域为R的函数满足
(I)若,求;又若,求;
(II)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式
题型:解答题难度:简单| 查看答案
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