(1)∵对任意实数b,f(xb)=bf(x),f(10)=1, ∴f(1)=f(100)=0×1=0, f()=f(10lg)=lg×1=lg f()=f[()2]=2f()=2lg. 因为f(k-1002)=f(10lg(k-1002))=lg(k-1002)=lg1002 ∴k=2004. (2)设x,y∈(0,+∞), 当x≠1时, f(xy)=f(x•xlogxy) =x1+logxy =(1+logxy)f(x) =f(x)+logxy•f(x) =f(x)+f(xlogxy) =f(x)+f(y). 当x=1时,因为f(1)=0也适合, 故对任意x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y). (3)因为x>1时, f(x)=f(10lgx)=lgx•f(x)=lgx>0, 设0<x1<x2,则>1,所以f()>0. 由(2)知f(x2)=f(•x1)=f()+f(x1)>f(x1), 所以f(x)是(0,+∞)上的增函数 |