对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=12，则limn→∞[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（　　）A．14B．1C

题型：单选题难度：简单来源：不详

对任意正整数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=

1

2

，则

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（　　）

A． 1 4

B．1

C．- 1 2

D． 1 2

答案

由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒

f(2x)

f(x)

=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒

f(x+1)

f(x)

=

1

2

，
所以数列{f（n）}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，故f（n）=

1

2

×

1

2

^n-1=（

1

2

）ⁿ．
∴

f(2n)

f(n)

=f（n）=（

1

2

）ⁿ．
则 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（

1

2

）¹+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+(

1

2

)ⁿ=

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ．

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=

lim

n→∞

[1-（

1

2

）ⁿ]=1
故选B．