已知函数f(x)=(x2+32)(x+a)(a∈R)(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的范围;(2)若f′(-1)=0,(I)求函数f(x)的
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已知函数f(x)=(x2+32)(x+a)(a∈R)(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的范围;(2)若f′(-1)=0,(I)求函数f(x)的
题型:解答题
难度:一般
来源:宝坻区二模
已知函数f(x)=(x
2
+
3
2
)(x+a)(a∈R)
(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,求a的范围;
(2)若f′(-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间;(II)证明对任意的x
1
、x
2
∈(-1,0),不等式|f(x
1
)-f(x
2
)|<
5
16
恒成立.
答案
∵
f(x)=
x
3
+a
x
2
+
3
2
x+
3
2
a
,∴
f′(x)=3
x
2
+2ax+
3
2
(1)∵函数f(x)的图象有与x轴平行的切线,
∴f′(x)=0有实数解
则△=4
a
2
-4×3×
3
2
≥0
,
a
2
≥
9
2
,
所以a的取值范围是
(-∞,-
3
2
2
]∪[
3
2
2
,+∞)
(2)∵f′(-1)=0,∴
3-2a+
3
2
=0
,
a=
9
4
,
∴
f′(x)=3
x
2
+
9
2
x+
3
2
=3(x+
1
2
)(x+1)
(Ⅰ)由f"(x)>0得x<-1或
x>-
1
2
;
由
f′(x)<0得-1<x<-
1
2
∴f(x)的单调递增区间是
(-∞,-1),(-
1
2
,+∞)
;
单调减区间为
(-1,-
1
2
)
(Ⅱ)易知f(x)的最大值为
f(-1)=
25
8
,
f(x)的极小值为
f(-
1
2
)=
49
16
,又
f(0)=
27
8
∴f(x)在[-1,0]上的最大值
M=
27
8
,
最小值
m=
49
16
∴对任意x
1
,x
2
∈(-1,0),
恒有
|f(
x
1
)-f(
x
2
)|<M-m=
27
8
-
49
16
=
5
16
举一反三
已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx(其中e是自然界对数的底,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)设
g(x)=
ln|x|
|x|
,x∈[-e,0)
,求证:当a=-1时,
f(x)>g(x)+
1
2
;
(3)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3?如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=-x
3
+3x
(I)证明:函数f(x)是奇函数;
(II)求f(x)的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x
4
,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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函数f(x)=lg(1+x
2
),g(x)=
x+2 (x<-1)
0 (|x|≤1)
-x+2 (x>1)
,h(x)=tan2x中,______是奇函数,______是偶函数.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若f(x)是奇函数,在x>0时f(x)=sin2x+cosx,则x<0时f(x)的解析式是______,f′(-
π
6
)=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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