(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x), 又∵f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x), ∴函数f(x)的解析式为f(x)= | ax-ln(-x),x∈[-e,0) | ax+lnx,x∈(0,e] |
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(2)证明:当x∈[-e,0)且a=-1时,f(x)=-x-ln(-x),g(x)=, 设h(x)=+, ∵f′(x)=-1-=-, ∴当-e≤x≤-1时,f"(x)≤0,此时f(x)单调递减; 当-1<x<0时,f"(x)>0,此时f(x)单调递增, ∴f(x)min=f(-1)=1>0, 又∵h′(x)=, ∴当-e≤x<0时,h"(x)≤0,此时h(x)单调递减, ∴h(x)max=h(-e)=+<+=1=f(x)min ∴当x∈[-e,0)时,f(x)>h(x),即f(x)>g(x)+
(3)假设存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x)有最小值是3, 则f′(x)=a-= (ⅰ)当a=0,x∈[-e,0)时,f′(x)=->0.f(x)在区间[-e,0)上单调递增, f(x)min=f(-e)=-1,不满足最小值是3 (ⅱ)当a>0,x∈[-e,0)时,f"(x)>0,f(x)在区间[-e,0)上单调递增, f(x)min=f(-e)=-ae-1<0,也不满足最小值是3 (ⅲ)当-≤a<0,由于x∈[-e,0),则f′(x)=a-≥0, 故函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数. ∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-<-(舍去) (ⅳ)当a<-时,则 当-e≤x<时,f′(x)=a-<0,此时函数f(x)=ax-ln(-x)是减函数; 当<x<0时,f′(x)=a->0,此时函数f(x)=ax-ln(-x)是增函数. ∴f(x)min=f()=1-ln(-)=3,解得a=-e2 综上可知,存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3. |